La parola “spazio” è sicuramente una di quelle a cui siamo più familiari. Però, concettualmente, cosa vuol dire davvero “spazio”? La matematica, tra le altre cose, si è occupata di rispondere a questa domanda, di indagare - si può dire, in un certo senso, filosoficamente - cosa sia davvero uno “spazio”. Nella storia sono state date svariate risposte e tuttora sul tema viene svolta ricerca (in direzioni che potrebbero sembrare completamente fuori dalla realtà) ma per ora ci concentreremo su una proposta piuttosto intuitiva e (tutto sommato) familiare.
Uno spazio, intuitivamente, è un insieme (diciamo per comodità $X$) fatto di elementi $x \in X$ che pensiamo come punti. Però, questi punti non sono “isolati” (o, ecco, non lo sono per forza). Pensiamo ad esempio ad una retta, che viene modellizzata bene dall’insieme dei numeri reali $\mathbb R$, oppure ad un piano (che ci piace pensare come $\mathbb R \times \mathbb R = \mathbb R^2$), oppure addirittura ad un fantomatico spazio $n$-dimensionale (che sarà $\mathbb R^n$). Dati due punti di questi spazi è perlomeno possibile misurare quanto distano, con una semplice formula che nel caso del piano $\mathbb R^2$ è data da
\[d((x_1,x_2),(y_1,y_2))= \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2},\]prendendo ispirazione dal teorema di Pitagora. (Potrete immaginare che una formula simile produrrà una misura di distanza soddisfacente per punti in $\mathbb R^n$).
La presenza di una distanza su $\mathbb R^2$ fa sì che possiamo introdurre una nozione dal sapore decisamente “topologico”, ossia quella di aderenza di un punto ad un certo insieme di punti. Diamo una definizione “informale”:
Definizione: sia $A \subseteq \mathbb R^2$ un sottoinsieme di punti del piano, e sia $x=(x_1,x_2) \in \mathbb R^2$ un punto del piano. Diciamo che $x$ è aderente ad $A$ se $x$ è “arbitrariamente vicino” ad un qualche punto di $A$.
L’espressione tra virgolette “arbitrariamente vicino” non è banale da catturare in termini formali. Però, è possibile: significa che per ogni $0 < \varepsilon < 1$ ($\varepsilon$ in matematica è solitamente una “incertezza”, che possiamo prendere “piccola a piacere”: potevamo anche chiedere che fosse $< \frac{1}{1000}$ o più piccolo ancora) esiste almeno un punto $y \in A$ tale che $d(x,y) < \varepsilon$. Per capire un po’ meglio di cosa si tratta, vale la pena fare un esempio. Disegnate un quadrato nel piano, però senza il bordo esterno: un esempio potrebbe essere il sottoinsieme $A=(-1,1) \times (-1,1) \subseteq \mathbb R^2$. Proviamo a chiederci: il punto $(0,0)$ è aderente ad $A$? Be’, è già dentro $A$, quindi un punto che sia arbitrariamente vicino a $(0,0)$ e stia in $A$ esiste sicuramente: è lo stesso $(0,0)$. Ora, facciamoci guidare dall’intuizione: quali altri punti potrebbero essere aderenti a questo quadrato senza bordo? Proviamo a prendere un punto di “quello che sarebbe il bordo”, per esempio il punto $x=(1,1)$. Sarà aderente? L’intuizione direbbe di sì, ci sembra certamente “arbitrariamente vicino” a un qualche punto del nostro $A$. E in effetti, se fissiamo $\varepsilon > 0$ sufficientemente piccolo (diciamo pure $\varepsilon <1$) e consideriamo il punto $y=(1-\varepsilon, 1-\varepsilon)$, tale punto sta certamente in $A$, e del resto con un semplice calcolo:
\[d(x,y) = \sqrt{\varepsilon^2 + \varepsilon^2} = \sqrt 2 \varepsilon,\]e questo ci basta a dire che $x$ è aderente ad $A$ (piccola osservazione: a vederla così, sembrerebbe che non abbia davvero ottenuto $d(x,y) < \varepsilon$ come volevo, ma la verità è che funziona lo stesso. Provate a pensare al perché!). Arrivati qui, l’intuizione sembra suggerire che l’insieme dei punti aderenti ad $A$ sia dato dal “quadrato chiuso” (quelli fuori da tale quadrato chiuso non sarebbero dunque aderenti). Come esercizio, provate a dimostrare questa affermazione!
A questo punto, un po’ di linguaggio per aiutarci nel seguito. Dato un sottoinsieme $A \subseteq \mathbb R^2$, definiamo
\[\overline{A} = \{x \in \mathbb R^2 : \text{$x$ è aderente ad $A$}\}\]Questo insieme di punti aderenti può di certo essere pensato come la chiusura di $A$, come nell’esempio visto sopra, e infatti è chiamato così anche nella pratica matematica. Finalmente, possiamo dare una definizione di funzione continua che forse sembrerà un po’ più intuitiva di quella che di solito viene presentata durante i corsi di analisi (ma in realtà è del tutto equivalente!):
Definizione: sia $f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ una funzione dal piano in sé (va bene anche dalla retta in sé, o dalla retta al piano, o tutte le varianti che potete immaginarvi). Diciamo che $f$ è continua se dato un qualsiasi sottoinsieme $A \subseteq \mathbb R^2$, abbiamo che $x$ aderente ad $A$ implica che $f(x)$ è aderente all’insieme $f(A) = {f(z) : z \in A}$. Più sinteticamente:
\[f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}.\]Ora, apprestiamoci a fare qualcosa che è squisitamente “matematico”: l’astrazione e l’assiomatizzazione. In effetti, per quanto $\mathbb R, \mathbb R^2$ e cose simili siano tra gli esempi più comuni di “spazi” che potremmo avere in mente, il nostro scopo è un po’ più generale, filosofico in un certo senso. Vogliamo capire cos’è l’essenza del concetto di spazio, vogliamo andare oltre i singoli esempi. E una proposta possibile ci viene rileggendo quanto abbiamo fatto finora. Sembra infatti che la nozione chiave adoperata sia quella di aderenza. Dunque… se provassimo ad assiomatizzarla e renderla in un certo qual modo “arbitraria”? Dunque, cosa potrebbe essere per noi uno “spazio”? Iniziamo da un insieme $X$ di “punti”. Poi, dato un sottoinsieme $A \subseteq X$ qualsiasi, diamo una nozione arbitraria di aderenza, ossia gli associamo un altro sottoinsieme $\overline{A} \subseteq X$ che penseremo come “punti di $X$ aderenti ad $A$”. Arrivati qui, avremo bisogno di imporre alcune proprietà ‘ragionevoli’:
- Se $x \in A$, vogliamo che sia aderente ad $A$. Ossia: $A \subseteq \overline{A}$.
- Abbiamo detto sopra che $\overline{A}$ può essere pensata come chiusura di $A$. Ci aspettiamo che prendere la chiusura della chiusura non aggiunga nulla: $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$.
- Se $A, B \subseteq X$ sono due sottoinsiemi di $X$, vogliamo che essere aderenti all’unione $A \cup B$ sia la stessa cosa di essere aderenti ad $A$ oppure aderenti a $B$, ossia: $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$.
- C’è un sottoinsieme di $X$ un po’ speciale, l’insieme vuoto $\emptyset$, per cui l’intuizione va sempre un po’ a farsi benedire: chiederemo comunque che essere aderenti al vuoto sia una condizione… vuota: $\overline{\emptyset} = \emptyset$.
Queste richieste sono in linea con l’intuizione (l’esposizione precedente dovrebbe averla costruita almeno un poco) però lasciano una certa libertà di scelta. Dato un certo insieme di ‘punti’, possiamo noi decidere come si comportano dal punto di vista topologico! E dunque, arriviamo ad una definizione di grande successo storico (in verità, data qui in un modo leggermente diverso da come solitamente viene presentata, ma completamente equivalente):
Definizione: uno spazio topologico è il dato di un insieme $X$ e di una funzione $A \mapsto \overline{A}$ definita e a valori nell’insieme di tutti i sottoinsiemi di $X$, soggetta alle proprietà menzionate sopra. I punti di $\overline{A}$ si diranno “aderenti ad $A$”, e $\overline{A}$ si dirà “chiusura di $A$”.
Di seguito, faremo un’altra cosa tipica in matematica, ossia abuseremo la notazione, e scriveremo $X$ per indicare lo spazio topologico che ha come insieme di “supporto” $X$, di fatto confondendo due concetti diversi (quello di mero “insieme” e quello di “insieme con struttura di spazio topologico”). A questo punto, finalmente, possiamo dire cos’è una funzione continua tra spazi.
Definizione: siano $X$ e $Y$ spazi topologici. Una funzione $f \colon X \to Y$ si dice continua se preserva l’aderenza, ossia
\[f(\overline{A})\subseteq \overline{f(A)}.\]per ogni sottoinsieme $A \subseteq X$.
Come esercizio: controllate che dato uno spazio topologico $X$, la funzione identità $1_X \colon X \to X$ è continua, e che date due funzioni continue $f \colon X \to Y$ e $g \colon Y \to Z$, la composizione $g\circ f \colon X \to Z$ è ancora continua.
Per concludere questa parte, giusto un paio di esempi “generali” ma istruttivi. Dato un insieme $X$, è sempre possibile renderlo uno spazio topologico in due modi diametralmente opposti:
- Nel primo caso, definiamo $\overline{A} = A$ per ogni sottoinsieme $A$. Come a dire: ogni insieme è chiuso, oppure i punti aderenti ad ogni insieme sono solo quelli che appartengono ad esso. Tale scelta produce una topologia su $X$ che si dice topologia discreta. In un certo senso, è quella che “distingue più di tutte”. Ogni punto è davvero da pensarsi “isolato” con questa scelta.
- Nel secondo caso, definiamo $\overline{A} = X$ per ogni sottoinsieme $A$. Come a dire: ogni punto dello spazio è aderente a qualsiasi insieme. Tale scelta produce una topologia su $X$ che si dice topologia indiscreta o banale. In un certo senso, è quella che “distingue meno di tutte”, e può essere pensata come un blob molto indistinto in cui dal punto di vista topologico ogni punto viene confuso a tutti gli altri.
- Sugli spazi $\mathbb R^n$ e pure sui loro sottoinsiemi, la nozione di aderenza che mettiamo è quella descritta nella prima parte dell’esposizione (bisognerebbe essere un po’ più precisi qui, ma ci accontentiamo). Tale topologia è detta topologia euclidea.
Abbiamo una nozione di “spazio”, ora, e possiamo finalmente cercare di capire un po’ più precisamente cosa significa individuare una sua impalcatura. Questo, però, farà sì che la nozione di spazio così come l’abbiamo data venga già messa (un po’) in crisi!